Introducción a las ecuaciones de la física matemática

El proposito principal de este libro es servir como texto para un primer curso de Ecuaciones de la Fisica Matematica. En el curso se hace una presentacion teorica de las ecuaciones basicas en derivadas parciales, tales como las ecuaciones de Lagrange y Poisson y las de transmision de calor y de onda.

En la mayoría de modelos matemáticos de los diferentes fenómenos de la naturaleza y la sociedad surgen ecuaciones diferenciales en las cuales la función incógnita depende de varias variables. Naturalmente, estas ecuaciones comprenden ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que tienen un gran espectro de aplicaciones. Al desarrollo de ellas han aportado todas las ramas de la matemática moderna tales como el cálculo, el álgebra, la geometría, el análisis funcional, la topología, la teoría de variable compleja y, esencialmente, la teoría de los espacios funcionales de dimensión infinita. Como casi todos los procesos físicos se describen por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tales ecuaciones se llaman frecuentemente ecuaciones de la Física Matemática. Observemos que las ecuaciones diferenciales parciales describen también fenómenos químicos, biológicos, económicos y otros. Este curso tiene como objetivo la presentación teórica de las ecuaciones básicas de la física matemática como las ecuaciones de Lagrange, Poisson y las de transmisión de calor y de onda; la deducción de las propiedades cualitativas de sus soluciones por el método de la transformada de Fourier, e igualmente el concepto de una solución generalizada en el sentido de los espacios de Sobolev. Se introduce el concepto de una solución generalizada y se discuten sus aplicaciones en varios problemas de contorno para la ecuación de Poisson que es una de las ecuaciones más importantes de la Física Matemática.

Introducción v1 Algunos modelos matemáticos de los procesos físicos 11.1. Deducción de la ecuación de calor 11.2. Deducción de la ecuación de onda 61.3. El sentido físico de las condiciones de contorno 102 El sentido físico de una función generalizada, definición dela función 훿 de Dirac. El espacio de las funciones básicas 퐷y el espacio de las funciones generalizadas 퐷′ 153 El problema de Cauchy para la ecuación de calor 233.1. El espacio de Schwartz S. La transformada de Fourierpara las funciones de 푆, 퐿1 y 퐿2 233.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación detransmisión de calor con las funciones iniciales de S 304 El espacio de funciones generalizadas 푆′. La transformadade Fourier en 푆′. Teorema de convolución de dos funciones풇(풙) ∈ 푺, 품(풙) ∈ 푪풃 335 Aplicación del teorema de convolución a la solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor 435.1. Desarrollo del núcleo de Poisson 435.2. Propiedades del núcleo de Poisson: 퐺(푡, 푥) −−−→푡→0훿(푥) 47III6 Otras propiedades de las soluciones de la ecuación de calor 516.1. Solución del problema de Cauchy para la ecuación detransmisión de calor con una función inicial continuaacotada 516.2. El problema de Cauchy para la ecuación de transmisiónde calor no homogénea. El principio de Duhamel 556.3. Unicidad de la solución del problema de transmisión decalor y su dependencia continua de los datos iniciales 577 El problema de Cauchy para la ecuación de onda 677.1. La desigualdad energética y sus corolarios: la unicidadde la solución y su dependencia continua de los datosiniciales 677.2. Solución del problema para los datos iniciales de S 738 Algunos resultados de la teoría de las funciones generalizadas 778.1. La función 훿 concentrada en una esfera, su transformadade Fourier 778.2. Teorema de la convolución de una función de 푆 con unafunción generalizada de 푆′con soporte compacto 809 Deducción de la fórmula de Kirchhoff para la solución delproblema de Cauchy para la ecuación de onda en el caso detres variables espaciales. Buena determinación del problema de Cauchy para la ecuación de onda 8510 El principio de Duhamel para la ecuación de onda no homogénea. La función de Green del problema de Cauchy parala ecuación de onda. Propiedades cualitativas de la propagación de ondas. Velocidad finita de la propagación de ondas 9511 Primeros conceptos de los espacios de Sobolev 10311.1. Dos métodos diferentes de definir las soluciones generalizadas. Las derivadas generalizadas y sus propiedadesbásicas 103III11.2. El espacio de Sobolev 푊12 su producto escalar y su completitud. Definición del espacio 푊푙푝 11112 Algunas propiedades de los espacios de Sobolev 11712.1. El espacio de Sobolev0푊12 11712.2. Dos normas diferentes en el espacio0푊12(Ω). La desigualdad de Friedrichs 11812.3. Las funciones medias y sus propiedades: suavidad infinita, convergencia en la norma de 퐿푝, conmutatividadde las operaciones de diferenciación y promediación 12113 Los espacios 푊12 y표푊12 12913.1. Propiedades de contorno de las funciones de 푊12 y de표푊12. Un sencillísimo teorema de inclusión: traza de 푢 ∈푊12(Ω) en la frontera ∂Ω como elemento de 퐿2(∂Ω) 12913.2. La nulidad en promedio de las funciones de표푊12(Ω) enla frontera ∂Ω. Integración por partes para las funcionesde 푊12(Ω) y de표푊12(Ω) 13314 Otras propiedades del espacio 푊12 14114.1. La desigualdad de Poincaré 14114.2. Compacidad de inclusión de un conjunto acotado de푊12(Ω) en 퐿2(Ω) 14315 Algunos problemas de contorno 14715.1. La solución generalizada para el primer problema decontorno de la ecuación de Poisson 147