Mathematische Untersuchungen zur Schalentheorie

Die Differentialgleichungen der Schalenstatik stellen ein kompliziertes System partieller Differentialgleichungen dar, und es gibt noch kein allgemeines Lösungs verfahren für beliebige Schalenformen, Belastungsfälle und Randbedingungen. Wohl sind in der Literatur schon vor längerer Zeit für eine ganze Reihe von ein zelnen Problemen Lösungen gegeben worden. Hierzu zählen unter anderem die Zylinderschale, die Kegelschale, die Kugelschale, allgemeiner die Rotationsschalen der LovE-MEIssNERschen Theorie und andere mehr. Aber schon die Berechnung einer Schale, deren Mittelfläche ein Stück einer Fläche zweiter Ordnung darstellt, bereitet erhebliche Schwierigkeiten. Die vorliegende Arbeit will einen Beitrag zum Problem des Membranspannungs zustandes von Schalen geben, deren Mittelfläche eine beliebige Fläche zweiter Ordnung darstellt. Ausgangspunkt der Überlegungen war die Tatsache, daß die Berechnung des Membranspannungszustandes einer Kugelschale bei der Null belastung, die seit längerem bekannt ist, auf die CAucHy-RIEMANNschen Diffe rentialgleichungen führt. Durch Einführung geeigneter Koordinaten lassen sich die Differentialgleichungen des Membranspannungszustandes auch für Schalen mit allgemeineren Mittelflächen auf die CAucHy-RIEMANNschen Differential gleichungen zurückführen. Verwendet man insbesondere sogenannte konjugiert isometrische Parameter, so werden die Koeffizienten der mit den Ableitungen behafteten Glieder konstant und einander gleich bzw. entgegengesetzt gleich (I, 3).

I. Die Gleichgewichtsbedingungen des momentenfreien Spannungszustandes.- II. Lösungen der speziellen Flächenklassen zugehörigen Differentialgleichungen des Membranspannungszustandes mit konstanten Koeffizienten.- III. Anwendungen in der Membrantheorie der Flächen zweiter Ordnung.- Zusammenfassung.