Algebra für Einsteiger

Dr. Jörg Bewersdorff promovierte im Fach Mathematik an der Universität Bonn.
Ebenfalls im Programm von Springer Spektrum sind sein populäres Buch "Glück, Logik und Bluff" und sein Lesebuch "Statistik - wie und warum sie funktioniert".

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Bereits vor 4000 Jahren wurden quadratische Gleichungen gelöst. Im 16. Jahrhundert fand man allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades, aber entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades schlugen fehl. Nach fast dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

Gemäß der Intention des Buchs, auch die Geschichte der Algebra zu berücksichtigen, wurden in dieser Neuauflage diverse Faksimiles ergänzt. Begleitend zu den Faksimiles wurde insbesondere das erste Kapitel erheblich erweitert, so dass die maßgeblichen kulturhistorischen Kontexte der Epochen bis Cardano deutlicher werden. Schließlich wurden zum Kapitel über Artins Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie einige Anmerkungen zum historischen und mathematischen Hintergrund hinzugefügt.

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im 16. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach fast dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann fast unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

Kubische Gleichungen.- Casus irreducibilis, die Geburtsstunde der komplexen Zahlen.- Biquadratische Gleichungen.- Gleichungen n -ten Grades und ihre Eigenschaften.- Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln.- Gleichungen, die sich im Grad reduzieren lassen.- Die Konstruktion regelmäßiger Vielecke.- Auflösung von Gleichungen fünften Grades.- Die Galois-Gruppe einer Gleichung.- Algebraische Strukturen und Galois-Theorie.- Artins Version des Hauptsatzes der Galois-Theorie.