Vorlesungen Über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen

Bartel van der Waerden, geb. am 2.2.1903 in Amsterdam, ging 1924 ging als Student nach Göttingen und wurde dort mit Emmy Noether und der abstrakten Algebra bekannt. Sein Hauptinteresse galt damals vor allem der Begründung der algebraischen Geometrie mit Hilfe der neuen algebraischen Methoden. Als er im Jahre 1926 als junger Doktor mit einem Rockefeller-Stipendium nach Hamburg kam, hatte er Gelegenheit, eine didaktisch hervorragende Algebra-Vorlesung von Emil Artin zu hören. Die Ausarbeitung, die er von dieser Vorlesung machte, wurde zum Kern des vorliegenden Werkes. Es erschien zuerst 1930-31 unter dem Titel 'Moderne Algebra' in der Sammlung 'Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'. In der Folge wurde das Werk in die englische, russische und chinesische Sprache übersetzt. Im Jahre 1928 wurde der Autor Professor an der Universität Groningen. Seit 1951 lebte und arbeitete er bis zu seiner Emeritierung in Zürich als Professor an der dortigen Universität.

Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- Erstes Kapitel. Die komplexen Zahlen.- Zweites Kapitel. Die Potenzreihen.- Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.- Viertes Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.- Fünftes Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.- Sechstes Kapitel. Die meromorphen Funktionen.- Siebentes Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- Erstes Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.- Zweites Kapitel. Die Theta-Funktionen.- Drittes Kapitel. Die elliptischen Funktionen Jacobis.- Viertes Kapitel. Die elliptischen Modulfunktionen.- Fünftes Kapitel. Elliptische Gebilde.- Sechstes Kapitel. Elliptische Integrale.- Siebentes Kapitel. Die Transformation der elliptischen Funktionen.- Dritter Abschnitt. Geometrische Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Vorbereitende Betrachungen.- Zweites Kapitel. Die Grundlagen der Theorie der meromorphen Funktionen.- Drittes Kapitel. Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel.- Viertes Kapitel. Spezielle Funktionen und ihre Singularitäten.- Fünftes Kapitel. Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.- Sechstes Kapitel. Die konforme Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete.- Siebentes Kapitel. Spezielle Abbildungsfunktionen.- Achtes Kapitel. Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Das Dirichletsche Prinzip.- Neuntes Kapitel. Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie.- Einleitende Bemerkungen.- Erstes Kapitel. Weitere Abbildungstheoreme der Funktionentheorie.1. Primenden und konforme Abbildung.2. Randkomponenten und Schlitzabbildung.3. Konforme Selbstabbildungen Riemannscher Flächen.4. FuchsscheGruppen.5. Moduln von Vierecken und Ringgebieten.6. Quasikonforme Abbildungen.7. Extremale quasikonforme Abbildungen.- Zweites Kapitel. Holomorphe und meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen.1. Partialbruchzerlegung auf kompakten Riemannschen Flächen.2. Der Riemann-Rochsche Satz.3. Die Cauchyschen Integralformeln auf kompakten Riemannschen Flächen.4. Holomorphe Vektorraumbündel und C-Prinzipalbündel.5. Meromorphe Schnitte in holomorphen Geradenbündeln und C-Prinzipal-bündeln über kompakten Riemannschen Flächen.6. Topologische Eigenschaften nicht kompakter Riemannscher Flächen..7. Der Rungesche Approximationssatz.8. Holomorphe Geradenbündel und C-Prinzipalbündel über nicht kompakten Riemannschen Flächen.9. Automorphe Funktionen.- Namen- und Sachverzeichnis.