Die Grundlagen der Arithmetik

Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Mathematiker, Logiker und Philosoph, geboren am 8. November 1848 in Wismar, gestorben am 26. Juli 1925 in Bad Kleinen, gilt als eigentlicher Begründer der modernen Logik. Seine sprachanalytischen Untersuchungen beeinflussten die Entwicklung der Philosophie (z.B. Bertrand Russell und Ludwig Wittgenstein) und der Linguistik nachhaltig.

1 In der Mathematik ist in neuererZeitein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar2 Die Prüfung muß sich schließlich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, a priori oder a posteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke4 Die Aufgabe dieses Buches I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen SätzeSind die Zahlformeln beweisbar?5 Kant verneint dies, was Hanke! mit Recht paradoxnennt6 Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Graßmanns Definition von a + b ist fehlerhaft7 Mills Meinung, daß die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Tatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet8 Zur Rechtmäßigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Tatsachen nicht erforderlich Sind die Gesetze der Arithmetik induktive Wahrheiten?9 Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen10 Gründe dagegen, daß die Additionsgesetze induktive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induktion ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen11 Leibnizens »Eingeboren«. Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?12 Kant. Baumann. Lipschitz. Hanke!. Die innere Anschauung als Erkenntnisgrund13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie14 Vergleichung der Wahrheiten in bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet15 Ansichten von Leibniz und St. Jevons16 Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache«Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten17 Unzulänglichkeit der Induktion. Vermutung, daß die Zahlgesetze analytische Urteile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Wertschätzung der analytischen UrteileII. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl18 Notwendigkeit, den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen19 Die Definition darf nicht geometrisch sein20 Ist die Zahl definierbar? Hankel. Leibniz Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern Dinge?21 Meinungen von M. Cantorund E. Sehröder22 Dagegen Baumann: die äußern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab23 Mills Meinung, daß die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar24 Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden25 Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffenIst die Zahl etwas Subjektives?26 Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung paßt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objektives27 Die Zahl ist nicht, wie Schlömilch will, Vorstellung der Stelle eines Objekts in einer Reihe Die Anzahl als Menge28 Thomaes Namengebung III. Meinungen über Einheit und EinsDrückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?29 Vieldeutigkeit der Ausdrücke und »Einheitv. E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjektiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Prädikat dienen30 Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen31 Baumanns Merkmale der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objekte zugeführt (Locke)32 Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit an, wob